Formelsammlung
Mit Java-Applet
um Zahlenbeispiele zu rechnen!
Anmerkungen:
- Da das Wurzelzeichen in HTML nicht dargestellt werden kann,
wird statt dessen jeweils sqrt() verwendet.
- Statt ex wird manchmal exp(x) geschrieben.
Rechnen mit Einheiten ,
magische Zahlen ,
Griechische Buchstaben
Stichwort-Suche , neue Formeln , Fehlerreport
Physik, Chemie
Geschwindigkeit
v = ds/dt
ds=zurückgelegte Strecke dt=gebrauchte Zeit v=Geschwindigkeit
a = dv/dt
dv=Geschwindigkeitsänderung in der Zeit dt a=Beschleunigung
Beschleunigungskraft
F = a*m
a = Beschleunigung m = beschleunigte Masse
m*v2
Fz = ------
r
m = Masse v = Geschwindigkeit r = Rotationsradius
Zahlenbeispiel
m1*m2
Fg = G * --------
r2
m1, m2 = Massen von 2 Körpern (punktförmig oder Kugeln)
G = Gravitationskonstante (6.67259*10-11)
r = Abstand der Schwerpunkte von m1 und m2
Zahlenbeispiele
Die Schwingungsdauer eines Pendels ist:
T = 2*sqrt(L/g)*R
R = 1 + (1/2)2 * sin2(a/2) + (1/2 * 3/4)2 * sin4(a/2) + ...
R = Korrekturfaktur für grosse Pendelauslenkung
a = Winkel der Maximalauslenkung
L = Pendellänge (Aufhängung bis Schwerpunkt)
g = Erdbeschleunigung
E = F*s F=Kraft, s=zurückgelegter Weg (Beispiel: Hubarbeit)
E = m*v2/2 m=Masse, v=Geschwindigkeit
E = m*c2 c=Lichtgeschwindigkeit, m=Masse (z.B. bei Kernreaktion umgesetzte Masse)
E = h* Plancksche Formel
E = U*I*dt in der Elektronik
Zahlenbeispiele
P = dE/dt
P = U*I in der Elektronik
dE=umgesetzte Energie
dt=Zeitdauer
Ohmsches Gesetz
U = R*I
P = U*I
E = P*t
U=Spannung (Volt)
R=Widerstand (Ohm 1=1V/1A)
I=Strom (Ampere)
P=Leistung (Watt 1W=1V*1A)
t=Zeit (Stunden h, oder Sekunden s)
E=Energie (Wattstunden 1Wh=1W*1h, oder Joule 1J=1W*1s)
Zahlenbeispiele
Wechselstrom
P = U*I*cos()
Q = U*I*sin()
P=Wirkleistung
Q=Blindleistung
S=U*I=Scheinleistung
=phi=Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom
cos()=P/S (=Wirkungsgrad?)
h = T/k * ln(p0/p)
p = p0 * e(-k/T * h)
h = Höhe ueber Referenzpunkt
p = aktueller Druck bei Höhe h
p0 = aktueller Druck bei Referenzpunkt (z.B. Meereshöhe)
T = Temperatur in Grad Kelvin
r0*T0*g
k = ---------- = 0.03417 (für trockne Luft)
p00
r0 = Dichte der Luft bei T0 (273K) und p00 (1013mbar)
g = Erdbeschleunigung (9.80665 m/s2)
Zahlenbeispiel
Herleitung der Formel
E = h* = h*c/
h = Plancksche Konstante (Wirkungsquantum) = 6.626*10-34m2kg/s
= Frequenz (Anzahl Wellen pro Sekunde)
= Wellenlänge
c = Lichtgeschwindigkeit
E = Energie eines Photons (Lichtquants)
Zahlenwertgleichung: E = 0.002857*
= Wellenzahl in cm-1 (Anzahl Wellen pro Zentimeter)
E = Energie in kcal/mol
Zahlenbeispiele
2h5 1
E() = -------- * -------------
c3 eh/kT - 1
k = Boltzmann-Konstante
T = Temperatur in Grad Kelvin
h, , c gleiche Bedeutungen wie in Plancksche Formel
Zahlenbeispiel
sin() c1
n = -------- = --- Snelliussches Gesetz
sin() c2
n = Brechungsindex
= Einfallswinkel zwischen Lot und Strahl
= Ausfallswinkel zwischen Lot und Strahl
c1 = Lichtgeschwindigkeit im ersten Medium
c2 = Lichtgeschwindigkeit im zweiten Medium
Zahlenbeispiele
OD = *c*d = -log(T) = -log(I/I0)
c = Konzentration in mol/l
d = Schichtdicke in cm
= Extinktionskoeffizient in l/(mol*cm)
Umrechnung von Druck in Konzentration
c = 0.0160*P/T Zahlenwertgleichung für ein ideales Gas
c = Konzentration in mol/l
P = Druck in Torr
T = Temperatur in Grad Kelvin
Zahlenbeispiele
Absorptionsquerschnitt (Absorption Cross Section)
*c*d = -ln(I/I0)
c = Konzentration in Moleküle/cm3
d = Schichtdicke in cm
= Absorptionsquerschnitt in cm2/Molekül
Umrechnung von Extinktionskoeffizient in Absorptionsquerschnitt
= *1000*ln(10)/NL = *3.8235*10-21
Optisch aktive Moleküle können linear polarisiertes Licht drehen.
Der Drehwinkel ist proportional zur Konzentration und Schichtdicke.
D = ------
l*c
= gemessener Winkel
l = Schichtdicke in dm
c = Konzentration in g/ml
D = Drehwinkel auf Schichtdicke 1dm und Konzentration 1g/ml normiert
D = Natrium-D Linie = 589nm
( ist stark Wellenlängenabhängig, sogar das Vorzeichen kann wechseln!)
(da es auch noch Temperaturabhängig ist, wird diese meist auch mit angegeben []tD )
Berechnung der Frequenz einer Streckschwingung. Diese Formel gilt eigentlich
nur für zweiatomige Moleküle, aber kann auch als Näherungsformel
in grösseren Molekülen verwendet werden.
= sqrt(K*(m1+m2)/(m1*m2)) * 1303cm-1
= Frequenz in Wellenzahlen
K = Kraft zwischen den beiden beteiligten Atomen in mdyn/Angström
(kann mit etwa 5.5 mdyn/Angström pro Bindung geschätzt werden)
m1 = Masse des ersten Atoms
m2 = Masse des zweiten Atoms
Verschiebung der Frequenz einer Streckschwingung beim einsetzen eines Isotops:
m1*(m1#+m2)
# = sqrt( ------------ ) *
m1#*(m1+m2)
Zahlenbeispiele
Reduzierte Masse: Damit werden obige Formeln etwas einfacher:
Dies ist eine Empirische Formel zur Darstellung der Beziehung zwischen
Dihedralwinkel (auch Diederwinkel genannt)
und 3J-Aufspaltung im NMR-Spektrum.
Originalformel von Karplus:
8.5 cos2 - 0.28 0<<90o
J = {
9.5 cos2 - 0.28 90<<180o
Neuere Variante1:
J = A1 + B1cos + C1cos2
Neuere Variante2:
J = A2 + B2cos + C2cos(2)
Bei verschiedenen Atomen oder unterschiedlicher chemischer Umgebung werden
unterschiedliche Parameter verwendet.
Die beiden Formelvarianten werden oft verwechselt.
Parametersätze die im Internet zu finden sind,
können also zu der einen oder andern Formel gehören.
Manchmal sind auch noch A und C vertauscht.
Umrechnung der Parameter:
A2 = A1 + C1/2 C2 = C1/2 B2=B1
A1 = A2 - C2 C1 = 2C2 B1=B2
Einige Parametersätze:
Atome |
A1 |
B1 |
C1 |
HCCH | -0.28 | -0.5 | 9.0 |
HNCH | 1.9 | -1.4 | 6.4 |
HNCH | 2.5 | -1.2 | 6.8 |
Zahlenbeispiele
ITMS*C
IH = ---------
CTMS*12
Wenn CTMS=1Volumenprozent ist: IH = 1.129*ITMS*C
C = Konzentration in mol/l
ITMS = Integral des TMS-Peaks
IH = Integralwert für ein H
Wenn wir eine Flüssigkeit durch eine Kapillare laufen lassen gilt:
v = D*G*t
v = Viskosität (wird normalerweise mit bezeichnet)
t = Durchflusszeit
G = Gerätekonstante (Dicke, Länge der Kapillare, durchgeflossene Menge)
D = Dichte der Flüssigkeit
Das mittlere Molekulargewicht eines gelösten Polymers ist:
M = (w0/K)1/a
v-v0 t-t0
w = ------ ~= ------
v0*c t0*c
v = Viskosität der Lösung
v0 = Viskosität des reinen Lösungsmittels
t = Durchflusszeit der Lösung
t0 = Durchflusszeit des reinen Lösungsmittels
c = Konzentration in g/ml
w = reduzierte spezifische Viskosität = sp/c
w0 = Approximierter Wert von w bei c=0
(Andere Bezeichnungen: [], Staudingerindex, Grenzviskosität, intrinsic viscosity)
K = Konstante die von Molekül und Lösungsmittel abhängig ist
a = weitere von Molekül und Lösungsmittel abhängige Konstante
Der zweite Teil der w-Gleichung ist eine Näherung und stimmt nur wenn
die Dichte der Lösung nicht stark von der Dichte des reinen
Lösungsmittels abweicht (also für kleine Konzentrationen).
Um w0 zu erhalten werden mehrere Messung bei verschiedenen
Konzentrationen gemacht, w gegen c aufgetragen, und mit einer
Ausgleichsgeraden der Wert bei c=0 ermittelt.
Die empirisch bestimmten Werte a und K sind zum Teil in Tabellen zu finden.
a liegt meist zwischen 0.5 und 2.0.
Beispiele:
Substanz | Lösungsmittel | K | a |
Polystyrol | CHCl3 | 0.0112 | 0.73 |
PBLG | DCA | 2.78e-3 | 0.87 |
PBLG | DCA | 1.747e-3 | 0.886 | (eigne Messung) |
Polyalanin | DCA | 0.364 | 0.672 |
p*V = n*R*T
p = Druck in Pascal
T = Temperatur in Kelvin
V = Volumen in m3 (1 Kubikmeter = 1000 Liter)
n = Molzahl (= Anzahl Teilchen / NL)
R = Gaskonstante = 8.315 J/mol/K
(Wenn p in mbar und V in Liter: R=83.15 mbar*l/mol/K)
Zahlenbeispiele
Temperaturskalen
0 K = absoluter Nullpunkt (Moleküle bewegen sich nicht mehr),
273.16 K = Temperatur beim Tripelpunkt von Wasser.
Beim Tripelpunkt stehen Feste-, Flüssige- und Gasförmige-Phase eines
reinen Stoffs im Gleichgewicht. Beim Wasser ist das dann eben bei
0.01oC und etwa 6.107mbar der Fall. (Man beachte dass das für
einen _reinen_ Stoffs gilt, die Luft muss man also abpumpen um den Tripelpunkt
zu messen.)
Celsius:
Ursprüngliche Definition: 0oC = Schmelzpunkt, 100oC = Siedepunkt von Wasser bei Normaldruck (1bar).
Neue Definition: 0oC = 273.15 K, Differenzen in Celsius = Differenzen in Kelvin
(da der Tripelpunkt von Wasser als 273.16 definiert wurde ist der Schmelzpunkt
von Wasser bei 1bar immer noch ziemlich genau bei 0oC)
Farenheit:
Ursprüngliche Definition: 100oF = Körpertemperatur,
0oF = Temperatur der Ammonium-Wasser-Eis Kältemischung
F = C*9/5+32
C = (F-32)*5/9
Zahlenbeispiele Temperatur-Umrechnungen
Wärmemenge
dQ = dT*k*m
Q = Wärmemenge (Energiemenge)
dQ = Änderung der Wärmemenge bei Änderung der Temperatur um dT
(dabei sollte dT so klein sein dass sich k nicht ändert)
k = Wärmekapazität (Energiemenge um 1 Gramm um 1 Kelvin zu erwärmen)
(ist stark Stoffabhängig und wenig Temperaturabhängig)
m = Masse (in Gramm)
Zahlenbeispiel:
die Wärmekapazität von Wasser ist 4.1868 Joule/g.
Wieviel Energie braucht man um 1l Wasser von 20o auf
100oC zu erwärmen?
(k für Wasser ist eigentlich bei 4oC, stimmt aber auch
zwischen 0 und 100o ziemlich gut)
Entropie
dS = dQ/T
S=Entropie
Q=Wärmemenge
Das Molekulargewicht eines Moleküls wird berechnet indem einfach die
Werte der einzelnen Atome addiert werden.
Tips:
Gross/Klein-Schreibung ist wichtig!
Peptide können auch eingegeben werden.
Ohne Schutzgruppe am Anfang muss ein H- mitangegeben werden, ohne Schutzgruppe
am Ende brauchts ein -OH. (z.B. H-Ala-OH)
Beispiel: Boc-Ala-Gly-OH sollte 246.263 ergeben (oder 246.121 mit Option i)
Hier noch eine kleine Dokumentation als Textdatei.
Man kann das Programm auch lokal (unter Linux) installieren:
MG-Rechner
Astronomie
JD = Anzahl Tage seit 4713 vor Christus
bis und mit 4.Oktober 1582: B = int((y+4716)/4) - 1181
ab 15.Oktober 1582: B = int(y/400)-int(y/100)+int(y/4)
(Wegen der Gregoranischen Kalenderreform folgte auf den 4.Okt. sogleich der 15.)
JD = 365*y - 679004 + B + int(30.6*m) + d + h/24 + 2400000.5
MJD = JD - 2400000.5 (Modifiziertes Julianisches Datum)
h = Tageszeit in Stunden
d = Tag
Y = für Jahre vor Christus: Y = -1 - Jahreszahl
für Jahre nach Christus: Y = Jahreszahl
wenn Monat<=2 : y = Y-1 m = Monat+13
sonst: y = Y m = Monat+1
int() = Abrundung auf ganze Zahl
Wer die Formel verstehen will sollte einige Beispiele von Hand ausrechnen.
Beispiel: 24.Dez. 1 vor Chr. um 20:15
h=20.25 d=24 Y=0 y=0 m=13 int(30.6*m)=397
Man kann die Formel aber natürlich auch verwenden ohne genau
zu verstehen wie sie funktioniert:
Zahlenbeispiele
A3
--- = k*(m1+m2)
T2
A = Mittlerer Abstand des Planeten zur Sonne
T = Umlaufzeit
m1 = Masse der Sonne
m2 = Masse des Planeten (kann im Sonnensystem vernachlässigt werden)
k = Konstante = G/(42)
im Sonnensystem kann man alle Unbekannten gleich 1 setzen,
also m1=1 Sonnenmasse, AE=1, TE=1 Jahr,
dann wird k=1 und wir können alle Planetendistanzen ausrechnen.
Zahlenbeispiel
Mathematik
Gleichung: a*x2+b*x+c=0
-b ± sqrt(b2-4*a*c)
Lösung: x = ---------------------
2*a
Zahlenbeispiel mit Java
x2 = cos(w)*x1 - sin(w)*y1
y2 = sin(w)*x1 + cos(w)*y1
w = Drehwinkel
x2,y2 = um w im Gegenuhrzeigersinn gedrehter Punkt
Zahlenbeispiel mit Java
Die Gausskurve (auch Glockenkurve genannt) kommt oft in
Wahrscheinlichkeitsrechnungen vor.
y = k1*e^(-k2*x2) + y0
Als Normalverteilung (Gauss-Verteilung) wird die Formel auch so geschrieben:
1 (x-µ)2
y = ---------- exp(--------)
*sqrt(2) 22
µ = Erwartungswert
= Standardabweichung
Eine Bezier-Kurve wird durch 4 Stützpunkte beschrieben.
Rekursive Definition:
Von den 4 Stützpunkten A B C D bilden A und D die beiden Endpunkte.
Man kann 2 kleinere Bezierkurven bilden:
A' = A
B' = (A+B)/2 also die Mitte zwischen A und B
C' = (A+2B+C)/4 Mitte zwischen B' und der Mitte von B und C
D' = (A+3B+3C+D)/8 Mitte zwischen C' und B''
und
A'' = D'
B'' = (B+2C+D)/4 Mitte zwischen C' und der Mitte von B und C
C'' = (C+D)/2 Mitte zwischen C und D
D'' = D
Die Menge aller A und D Punkte ergeben dann die Bezierkurve.
An der Uni-Oldenburg
wurden Bezier-Kurven einst ausführlich beschrieben. Leider nicht mehr
zu finden. Die dort angegebene Formel ist damit verloren gegangen.
Formeln zu Spline-Kurven sind hier zu finden:
B-Spline ,
B-Spline+andere
Zeit: s=Sekunde, min=Minute, h=Stunde
Strecke: m=Meter, km=Kilometer (k=Vorsilbe)
Geschwindigkeit: 1 m/s = 3.6 km/h
Beschleunigung: m/s2
Kraft: N = mkg/s2
Energie: J = Ws = m2kg/s2
Energie-Einheit | Symbol | Wert in Joule |
Wattsekunde | Ws | 1 |
Kilokalorie | kcal | 4186.8 |
Elektronenvolt | eV | 1.602*10-19 |
Erg | Erg | 10-7 |
Kilowattstunde | kWh | 3.6*106
|
Leistung: W = J/s = m2kg/s3
Leistungs-Einheit | Symbol | Wert in Watt |
Joule pro sekunde | J/s | 1 |
Kilowatt | kW | 1000 |
Pferdestärke | PS | 735.5
|
Druck: 1 mbar = 100 Pa = 100 N/m2
Druck-Einheit | Symbol | Wert in mbar |
Pascal | Pa | 0.01 |
Torr | Torr | 1.3329 |
PSI | PSI | 68.93
|
h = hekto = 100 ,
k = kilo = 1000 ,
M = Mega = 106 ,
G = Giga = 109 ,
T = Tera = 1012 ,
P = Peta = 1015 ,
E = Exa = 1018
d = dezi = 0.1 ,
c = centi = 0.01 ,
m = milli = 0.001 ,
µ = micro = 10-6 ,
n = nano = 10-9 ,
p = pico = 10-12 ,
f = femto = 10-15 ,
a = atto = 10-18
Boltzmann-Konstante k=R/NL=1.38066e-23 J/K
Plancksches Wirkungsquantum h=6.626e-34 m2kg/s
Lichtgeschwindigkeit c=299'792'485 m/s
Loschmidtsche Zahl NL=6.023e23 Teilchen/mol
Gaskonstante R=8.315 J/mol/K = 83.15 mbar*l/mol/K
Molvolumen v0=22.4146 l/mol
Erdbeschleunigung g=9.80665 m/s2
Gravitationskonstante G=6.67259e-11
Absoluter Nullpunkt: -273.15oC = 0 K (Kelvin)
Barometer , Beer ,
Beschleunigung ,
Brechung
Drehung ,
Optische Drehung
Einheiten , Energie
Gasgesetz , Gausskurve ,
Gravitation
Isotop
Lambert , Leistung ,
Luftdruck
Normalverteilung
Pascal , Pendel ,
Planck
Refraktometrie
Schwarzkörperstrahlung ,
Schwerkraft ,
IR-Schwingung ,
Pendel-Schwingung
Temperatur
Viskosität
Watt
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kurze e-mail.
Wenn Sie eine Formel kennen die hier hinein gehören würde senden
Sie sie mir bitte über e-mail als HTML-, LaTeX- oder Text-Datei. Wenn
möglich sollte eine Herleitung und/oder eine Quellenangabe dabei sein.
E-MAIL: pfister@pci.unizh.ch
Externe Links:
weitere Formelsammlungen ,
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HTML-Ueberblick ,
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